求解三维、二维初值问题：球面平均法、Kirchhoff公式与Poisson公式

三维初值问题

对三维初值问题

{\begin{cases} L u = f (x, t) & in R^{3} \times (0, + \infty) \\ u = φ, u_{t} = ψ & on R^{3} \times {t = 0}, \end{cases}

我们首先推导 $φ = 0$ 的情型．

第二型方程的球面平均法

对第二型方程

{\begin{cases} L u = 0 & in R^{n} \times (0, + \infty) \\ u = 0, u_{t} = ψ & on R^{n} \times {t = 0}, \end{cases}

我们对每个点 $x$ 来讨论：注意到对解作平移变换后仍满足原方程，因此只需对 $x = 0$ 处讨论即可．

第一步：将方程转化为一维方程

定义辅助函数 $\bar{u}$ ： $\bar{u} (r, t) = \frac{1}{4 π r^{2}} \int_{\partial B_{r} (0)} u (y, t) d S_{y} = \frac{1}{4 π} \int_{S^{2}} u (r ω, t) d S_{ω}$ ，则

\begin{aligned} {\bar{u}}_{r} (r, t) & = \frac{1}{4 π} \frac{\partial}{\partial r} \int_{S^{2}} u (r ω, t) d S_{ω} \\ = \frac{1}{4 π} \int_{S^{2}} (\nabla u (r ω, t) \cdot ω) d S_{ω} \\ = \frac{1}{4 π r^{2}} \int_{\partial B_{r} (0)} \nabla u (y, t) \cdot \frac{y}{r} d S_{y} \\ = \frac{1}{4 π r^{2}} \int_{\partial B_{r} (0)} \nabla u (y, t) \cdot ν d S_{y} . \end{aligned}

由散度定理及原方程

{\bar{u}}_{r} (r, t) = \frac{1}{4 π r^{2}} \int_{B_{r} (0)} Δ u (y, t) d y = \frac{1}{4 π a^{2} r^{2}} \int_{B_{r} (0)} u_{t t} (y, t) d y

于是

a^{2} r^{2} {\bar{u}}_{r} (r, t) = \frac{1}{4 π} \int_{B_{r} (0)} u_{t t} (y, t) d y

两边对 $r$ 求偏导得

\begin{aligned} a^{2} \frac{\partial (r^{2} {\bar{u}}_{r} (r, t))}{\partial r} & = \frac{1}{4 π} \int_{\partial B_{r} (0)} u_{t t} (y, t) d S_{y} \\ = \frac{1}{4 π} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \int_{\partial B_{r} (0)} u (y, t) d S_{y} \end{aligned}

结合 u(y,t)的定义，我们有

a^{2} \partial_{r} (r^{2} {\bar{u}}_{r}) = r^{2} {\bar{u}}_{t t} .

此处不宜展开，更好的处理方法是：令 $v = r \bar{u}$ ，则

\begin{aligned} v_{t t} & = r {\bar{u}}_{t t} \\ v_{r r} & = r {\bar{u}}_{r r} + 2 {\bar{u}}_{r} \\ \partial_{r} (r^{2} {\bar{u}}_{r}) & = 2 r {\bar{u}}_{r} + r^{2} {\bar{u}}_{r r} \end{aligned}

代入得

v_{t t} = a^{2} v_{r r}

这就将原方程化为 $R$ 上的波方程

{\begin{cases} v_{t t} - a^{2} v_{r r} = 0, & in R_{+} \times (0, + \infty); \\ v = 0, v_{t} = r \bar{ψ}, & on R_{+} \times {t = 0} . \end{cases}

这里

\begin{aligned} \bar{ψ} (r) & = \frac{1}{4 π r^{2}} \int_{\partial B_{r} (0)} ψ (y) d S_{y} . \end{aligned}

Info

此方程的前体称为 Euler-Poisson-Darboux 方程：把 $v = r \bar{u}$ 代进去写出 $\bar{u}$ 的方程．

第二步：转化为并求解半无界问题

我们要求的古典解要求二阶连续可微．假定 $u \in C^{2}$ ，则 $v \in C^{2}$ ，从而

v (0, \cdot) = lim_{r \to 0^{+}} v (r, \cdot) = 0

从而， $v$ 满足半无界问题

{\begin{cases} v_{t t} - a^{2} v_{r r} = 0, & in R_{+} \times (0, + \infty); \\ v = 0, v_{t} = r \bar{ψ}, & on R_{+} \times {t = 0}; \\ v = 0, & on {r = 0} \times (0, + \infty) . \end{cases}

由半无界问题的求解公式，方程的解在 $0 < r \leq a t$ 时为

v (r, t) = \frac{1}{2 a} \int_{a t - r}^{r + a t} r \bar{ψ} (s) d s

从而

u (0, t) = lim_{r \to 0^{+}} \frac{v (r, t)}{r} = \frac{1}{2 a} lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \int_{a t - r}^{r + a t} r \bar{ψ} (s) d s \overset{\frac{v (s)}{s} \to v^{'} (0)}{=} \frac{a t \bar{ψ} (a t)}{a} = \frac{1}{4 π a^{2} t} \int_{\partial B (0, a t)} ψ (y) d S (y) .

由平移

u (x, t) = \frac{1}{4 π a^{2} t} \int_{\partial B (x, a t)} ψ (y) d S (y) .

Kirchhoff 公式

由用第二型方程找第一、三型方程的解的方法，我们有

\begin{aligned} u & = u_{1} + u_{2} + u_{3} \\ = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{4 π a^{2} t} \int_{\partial B_{a t} (x)} φ (y) d S_{y}) + \frac{1}{4 π a^{2} t} \int_{\partial B_{a t} (x)} ψ (y) d S_{y} \\ + \int_{0}^{t} d τ \cdot \frac{1}{4 π a^{2} (t - τ)} \int_{\partial B_{a (t - τ)} (x)} f (y, τ) d S_{y} . \end{aligned}

称为 Kirchhoff 公式．

当 $f = 0$ 时，化出来得

u (x, t) = \frac{1}{4 π a^{2} t^{2}} \int_{\partial B_{a t} (x)} (t ψ (y) + φ (y) + \nabla φ (y) \cdot (y - x)) d S_{y} .

二维初值问题

对二维初值问题

{\begin{cases} L u = f (x, t) & in R^{2} \times (0, + \infty) \\ u = φ, u_{t} = ψ & on R^{2} \times {t = 0}, \end{cases}

我们用升维法解决．

第二型方程的升维法

对第二型方程

{\begin{cases} L u = 0 & in R^{2} \times (0, + \infty) \\ u = 0, u_{t} = ψ & on R^{2} \times {t = 0}, \end{cases}

令 $\tilde{u} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, t) = u (x_{1}, x_{2}, t)$ ， $\tilde{ψ} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, t) = ψ (x_{1}, x_{2}, t)$ ， $\tilde{x} = x \otimes x_{3}$ ，代入 Kirchhoff 公式得

\tilde{u} (\tilde{x}, t) = \frac{1}{4 π a^{2} t} \int_{\partial B_{a t} (\tilde{x})} \tilde{ψ} (\tilde{y}) d S_{\tilde{y}} .

由于 $\tilde{u}$ 与 $x_{3}$ 无关，不妨 $x_{3} = 0$ ，得

\begin{aligned} u (0, t) & = \tilde{u} (0, t) \\ = \frac{1}{4 π a^{2} t} \int_{\partial B_{a t} (0)} ψ (\tilde{y}) d S_{\tilde{y}} \\ =_{下 面 计 算 面 元 比 \sqrt{E G - F^{2}}}^{化 为 上 半 球 面 ， 用 函 数 表 示} \frac{2}{4 π a^{2} t} \int_{y_{3} = \sqrt{a^{2} t^{2} - y_{1}^{2} - y_{2}^{2}}} ψ (y_{1}, y_{2}) d S_{\tilde{y}} \\ =_{y_{3} = \sqrt{a^{2} t^{2} - y_{1}^{2} - y_{2}^{2}}}^{d S_{\tilde{y}} = \sqrt{1 + {(\frac{\partial y_{3}}{\partial y_{1}})}^{2} + {(\frac{\partial y_{3}}{\partial y_{2}})}^{2}} d y_{1} d y_{2}} \frac{1}{2 π a^{2} t} \int_{\begin{array}{c} B_{a t} (0) \\ 二 维 圆 盘 \end{array}} \frac{ψ (y)}{\sqrt{a^{2} t^{2} - | y |^{2}}} d y \\ = \frac{1}{2 π a} \int_{B_{a t} (0)} \frac{ψ (y)}{\sqrt{a^{2} t^{2} - | y |^{2}}} d y . \end{aligned}

从而

u (x, t) = \frac{1}{2 π a} \int_{B_{a t} (x)} \frac{ψ (y)}{\sqrt{a^{2} t^{2} - | y - x} |^{2}} d y .

Poisson 公式

由用第二型方程找第一、三型方程解的方法，我们得到

\begin{aligned} u (x, t) & = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{2 π a} \int_{B_{a t} (x)} \frac{φ (y)}{\sqrt{a^{2} t^{2} - | y - x |^{2}}}) + \frac{1}{2 π a} \int_{B_{a t} (x)} \frac{ψ (y)}{\sqrt{a^{2} t^{2} - | y - x} |^{2}} d y \\ + \int_{0}^{t} d τ \frac{1}{2 π a} \int_{B_{a (t - τ)} (x)} \frac{f (y, τ)}{\sqrt{a^{2} (t - τ)^{2} - | y - x |^{2}}} d y . \end{aligned}

称为 Poisson 公式．

当 $f \equiv 0$ 时，化出来得

u (x, t) = \frac{1}{2 π a t} \int_{B_{a t} (x)} \frac{φ (y) + \nabla φ (y) \cdot (y - x) + t ψ (y)}{\sqrt{a^{2} t^{2} - | y - x |^{2}}} d y .